Conversão entre bases

Posted on seg 17 agosto 2026 in sistemas digitais • 3 min read

Fórmula geral de conversão de bases

A conversão entre números representados em bases diferentes, desde que ambos adotem um sistema de numeração posicional, segue a fórmula geral de conversão de bases. A maioria dos autores apresenta-a como:

$$ v=\sum_{m}^{n}{\alpha_i\times\beta^{i}} $$

A fórmula expressa $i$ dígitos $\alpha_i$ em uma base $\beta$, representando a quantidade $v$. O índice $i$ vai de $m$ a $n$, passando pelo $0$. Quando $m=0$, o número é inteiro, e quando $m<0$, o número é fracionário e em português usamos o ponto $.$ para dividir entre a parte inteira e a fracionária. Não é correto $m>0$ pois isto implica que todos os dígitos $i<m$ representam a quantidade zero, o que viola o sistema de representação posicional (este dígito deve existir e representar a quantidade zero, i.e. 0). A expansão desta fórmula gera:

$$ v=\alpha_{n}\times\beta^{n}+\alpha_{n-1}\times\beta^{n-1}+\alpha_{n-2}\times\beta^{n-2}\ldots \alpha_{0}\times\beta^{0}.\alpha_{-1}\times\beta^{-1}+\alpha_{-2}\times\beta^{-2}\ldots \alpha_{-m+2}\times\beta^{-m+2}+\alpha_{-m+1}\times\beta^{-m+1}+a+\alpha_{-m}\times\beta^{-m} $$

Para o sistema decimal inteiro sem sinal, a fórmula é bem simples de usar. Exemplo: considere o valor $A22_{11}$. Qual valor ele representa em decimal?

$$ v_{10}=\alpha_{2}\times\beta^{2}+\alpha_{1}\times\beta^{1}+\alpha_{0}\times\beta^{0}\\ v_{10}=A\times11^2+2\times11^1+2\times11^0\\ v_{10}=10\times121+2\times11+2\times1\\ v_{10}=1210+22+2\\ v_{10}=1234\\ $$

Note que os valores foram convertidos da base original (11) para a base decimal (10). Os valores expressos na fórmula devem ser os valores na base alvo (10). Para conversões para outras bases, devemos usar o valor na base que queremos, não a decimal, e realizar todos os cálculos na base alvo. Exemplo: considere o valor $A22_{11}$. Qual valor ele representa em hexadecimal?

$$ v_{16}=\alpha_{2}\times\beta^{2}+\alpha_{1}\times\beta^{1}+\alpha_{0}\times\beta^{0}\\ v_{16}=A\times B^2+2\times B^1+2\times B^0\\ v_{16}=A\times79+2\times B+2\times1\\ v_{16}=4BA+16+2\\ v_{16}=4D2\\ $$

Veja que todos os valores e cálculos foram realizados na base alvo (16), incluindo o valor da base original (11) que foi expresso em hexadecimal (B).

Vamos ver a conversão contrária, da base 16 para a base 11, para certificar-nos:

$$ v_{11}=\alpha_{2}\times\beta^{2}+\alpha_{1}\times\beta^{1}+\alpha_{0}\times\beta^{0}\\ v_{11}=4\times15^2+12\times15^2+2\times15^0\\ v_{11}=4\times213+12\times15+2\times1\\ v_{11}=851+17A+2\\ v_{11}=A22\\ $$

Veja que toda a fórmula foi expressa na base 11. O valor de 16 (a base hexadecimal) na base 11 é $15_{11}$. A operação $15_{11}^2=213_{11}$ foi realizada na base 11, assim como as multiplicações e as somas.

Conversão por divisão sucessiva

Um método muito comum que ensinamos para converter de decimal para outras bases usa a fórmula geral de expansão de bases ao contrário, fazendo divisões sucessivas para chegarmos ao número desejado. Lembre-se que todos os cálculos devem ser realizados na base alvo!

Por exemplo, considere o número $1234_{10}$. Vamos converter para hexadecimal. Como a base alvo é decimal (estamos usando a fórmula ao contrário), todos os cálculos são feitos em decimal.

$$ v_{10}=\alpha_{2}\times\beta^{2}+\alpha_{1}\times\beta^{1}+\alpha_{0}\times\beta^{0} $$

Genericamente, a divisão inteira dos dois lados da fórmula pela base $\beta$ sempre produz $\alpha_0$ como resto e o valor da divisão inteira corresponde ao restante da fórmula.

No exemplo, a primeira divisão pela base ($16_{10}$), divide toda a fórmula por $16_{10}$, ou seja, o resultado da divisão inteira de $1234_{10}$ por $16_{10}$ é $\alpha_{2}\times16^{2}+\alpha_{1}$ e o resto é o $\alpha_{0}$:

$$ v_{10}=\alpha_{2}\times\beta^{2}+\alpha_{1}\times\beta^{1}+\alpha_{0}\times\beta^{0}\\ 1234=\alpha_{2}\times16^{2}+\alpha_{1}\times16^{1}+\alpha_{0}\times16^{0}\\ 1234=\alpha_{2}\times16^{2}+\alpha_{1}\times16+\alpha_{0}\\ 1234-\alpha_{0}=\alpha_{2}\times16^{2}+\alpha_{1}\times16\\ \frac{1234-\alpha_{0}}{16}=\frac{\alpha_{2}\times16^{2}+\alpha_{1}\times16}{16}\\ \frac{1234-\alpha_{0}}{16}=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ $$

Como sabemos que $1234/16=77$ e o resto é $2$, podemos continuar assumindo que $\alpha_{0}=2$:

$$ \frac{1234-\alpha_{0}}{16}=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ \frac{1234-2}{16}=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ \frac{1232}{16}=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ 77=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ $$

E repetimos o mesmo processo para obter $\alpha_{1}$ e $\alpha_{2}$:

$$ 77=\alpha_{2}\times16+\alpha_{1}\\ 77-\alpha_{1}=\alpha_{2}\times16\\ \frac{77-\alpha_{1}}{16}=\frac{\alpha_{2}\times16}{16}\\ \frac{77-\alpha_{1}}{16}=\alpha_{2}\\ $$

Dado que $77/16$ resulta em $4$ e o resto é $13$, podemos assumir que $\alpha_{1}=13$:

$$ \frac{77-\alpha_{1}}{16}=\alpha_{2}\\ \frac{77-13}{16}=\alpha_{2}\\ \frac{64}{16}=\alpha_{2}\\ 4=\alpha_{2}\\ $$

Dessa forma, $1234_{10}=4D2_{16}$ (lembre-se que $13_{10}=D_{16}$). Na figura abaixo podemos ver a mesma operação, mas realizada usando a forma gráfica.

Divisões Sucessivas